V�rification d'une th�orie approch�e relative � une barre chauff�e � une extr�mit� et qui se refroidit par convection naturelle et rayonnement dans l'air ambiant.
D�termination du coefficient d'�change thermique moyen barre - air ambiant.

Soit une barre m�tallique tr�s allong�e de section circulaire constante. Prenons l'origine des abscisses en un point O � priori quelconque et orientons l'axe de la barre par le vecteur unitaire .

La barre est plac�e dans l'air ambiant ( temp�rature Ta ). Un dispositif de chauffage r�gul� entoure l'extr�mit� de la barre du c�t� des x n�gatifs. A l'int�rieur du m�tal, la chaleur se propage donc vers les x positifs et se dissipe tout au long de la barre dans l'air ambiant, � travers la paroi lat�rale. On veut �tudier la r�partition de temp�rature � l'int�rieur de la barre et pour cela, on adoptera l'hypoth�se simplificatrice suivante qui constitue une bonne approximation :
On admet que la temp�rature est la m�me en tous les points d'une section droite ; ainsi en r�gime stationnaire, la temp�rature est une fonction de x seulement. Cette hypoth�se est justifi�e si la barre est m�tallique, cad si la haute valeur du coefficient de conduction K assure une homog�n�isation lat�rale de la temp�rature. Par contre, pour un mat�riau peu conducteur, cette hypoth�se donnerait une mauvaise approximation.
Remarque : Si la temp�rature ne d�pend que de x, on n'est cependant pas ramen� � un probl�me de " mur " car, ici, il y a une d�perdition lat�rale de la chaleur.

On va �tablir une relation qui traduit le bilan des �changes thermiques pour un petit �l�ment de barre compris entre la section d'abscisse x de temp�rature T et la section d'abscisse x + dx de temp�rature T + dT. Supposons K ind�pendant de T.

Par la section x, d'aire S, il entre une puissance calorifique :
Par la section x + dx il sort une puissance calorifique :
Par la paroi lat�rale, en assimilant la temp�rature moyenne de la paroi lat�rale de l'�l�ment � T(x),  il sort une puissance calorifique : h �tant le coefficient global d'�change convection et rayonnement et D le diam�tre de la barre.

En r�gime stationnaire, on a n�cessairement �galit� entre les puissances calorifiques qui entrent et celles qui sortent de l'�l�ment ; on arrive � l'�quation diff�rentielle suivante :

mais puisque : et en prenant q = T-T_a    

La solution g�n�rale de cette �quation diff�rentielle est de la forme : q (x) = A₁ exp(S₁.x) + A₂ exp(S₂.x)

A₁ et A₂ �tant deux constantes � d�terminer � partir des conditions aux limites :
Pour x = + L (extr�mit� vers x>0) la temp�rature T(L) � Ta ( barre "longue").
Pour x = 0 la temp�rature est T₀.

En d�duire la solution sous la forme :  

On mesurera T(x) en diff�rents points de la barre de conductivit� K connue et on v�rifiera la forme exponentielle de la loi T(x) - Ta et on d�terminera h.

 La barre d'aluminium est chauff�e � une extr�mit�. Elle est perc�e lat�ralement de trous o� logent les couples thermo�lectriques.

Par programmation d�une centrale de mesures , enregistrer les temp�ratures des quatre premiers thermocouples en fonction du temps. L'instant de d�part sera celui de la mise en marche du r�gulateur du four ; choisir un intervalle de temps de 30 s ou 1 min environ et ceci pendant une vingtaine de minutes.
Mettre en �vidence l'�tablissement du r�gime stationnaire au sein de la barre en repr�sentant les variations de T₁(t), T₂, T₃ et T₄ . Quelles conclusions peut-on tirer de ces courbes?
Rem : En modifiant la temp�rature du four de fa�on p�riodique, il est possible de suivre les variations de temp�rature le long de la barre .

Lorsque le r�gime permanent est atteint, relever Ta ainsi que T₀ , T₁ , T₂ , ... T₈ .
Tracer la courbe repr�sentative de (Tx-Ta/T₀-Ta) = f(x). Mod�liser selon la solution de l'�quation diff�rentielle.
Ce mod�le est-il en accord avec la th�orie propos�e ?
En d�duire la valeur de h connaissant K_Al = 230 W.m^-1.K^-1.

Etudier la variation de ce coefficient lorsqu'on modifie les conditions exp�rimentales par exemple en introduisant un ventilateur le long de la barre.

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