UTILISATION DE MAPLE EN AUTOMATIQUE

I Premiers essais:

> restart;

> H:=2/(1+10*p);Y:=10/p;X:=H*Y;

> with(plots):with(inttrans):

> x:=invlaplace(X,p,t);

> plot({x,20},t=0..50,y=0..25,color=black);

Cet exercice consiste � faire calculer et tracer � MAPLE la r�pone � un �chelon d'un syst�me du premier ordre. Essayons de lui en demander plus!

III. Travail � faire:

1) R�pone � une impulsion: pas de difficult�s particuli�res.
2) R�ponse d'un syst�me du second ordre � un �chelon:
On notera H1, H2, ...les fonctions de transfert pour lambda= 0,2; 0.5; ....x1, x2, .... sont les r�ponses correspondantes.

> restart;

> H1:=1/(1+4*p+100*p^2):H2:=1/(1+10*p+100*p^2):H3:=1/(1+14.14*p+100*p^2):H4:=1/(1+16*p+100*p^2):H5:=1/(1+20*p+100*p^2):H6:=1/(1+40*p+100*p^2):

> Y:=10/p:X1:=H1*Y:X2:=H2*Y:X3:=H3*Y:X4:=H4*Y:X5:=H5*Y:X6:=H6*Y:with(plots):with(inttrans):

> x1:=invlaplace(X1,p,t):x2:=invlaplace(X2,p,t):x3:=invlaplace(X3,p,t):x4:=invlaplace(X4,p,t):x5:=invlaplace(X5,p,t):x6:=invlaplace(X6,p,t):

> plot({x1,x2,x3,x4,x5,x6,8,10,12},t=0..150,y=0..20,color=black);

On retrouvera ais�ment � quel lamda correspond chaque courbe.

3) R�ponse d'un premier ordre avec retard:

Le but est de comparer la r�ponse d'un mod�le de Bro�da avec celle du m�me mod�le en rempla�ant l'exponentielle par un d�veloppement limit� au premier et au second ordre.

> restart;

> H1:=exp(-10*p)/(1+20*p):H2:=1/((1+20*p)*(1+10*p)):H3:=1/((1+20*p)*(1+10*p+50*p^2)):

> Y:=10/p:X1:=H1*Y:X2:=H2*Y:X3:=H3*Y:

> with(plots):with(inttrans):

> x1:=invlaplace(X1,p,t):x2:=invlaplace(X2,p,t):x3:=invlaplace(X3,p,t):

> plot({x1,x2,x3,10},t=0..100,y=0..15,color=black);

Lequel est le plus proche de la r�alit�? N'oublions pas que le mod�le de Bro�da provient d'une identification...

4) Cet exercice est tir� du tome 2 des ouvrages de r�gulation de la collection ETAPES (NATHAN)

a) Correcteur proportionnel pur:

> restart; > H:=0.5/(1+10*p)^3:C:=A:T:=1+C*H;  

Le crit�re de Routh montre que la fronti�re de stabilit� est A0=16

> H:=0.5/(1+10*p)^3:C1:=14:C2:=16:C3:=18:W:=10/p:

> F1:=C1*H/(1+C1*H):F2:=C2*H/(1+C2*H):F3:=C3*H/(1+C3*H):

> X1:=F1*W:X2:=F2*W:X3:=F3*W:

> with(plots):with(inttrans):

> x1:=invlaplace(X1,p,t):x2:=invlaplace(X2,p,t):x3:=invlaplace(X3,p,t):

> plot({x1,x2,x3,10},t=0..300,y=-10..30,color=black);

b) Correcteur PI mixte:

> restart:Ti:= 450*A/((80-5*A)*(1+0.5*A));         

> plot(Ti(A),A=0..20,0..100);

L'exercice peut �tre poursuivi (�tude de robustesse), certains �tudiants le font en s'aidant du manuel cit� pr�c�demment.
Le logiciel est utilis� dans le lyc�e. C'est un outil performant capable de tracer des repr�sentations temporelles de fonctions donn�es par leur transform�e de Laplace.

Bernard ESCHENBRENNER
Professeur de Physique Appliqu�e
Lyc�e Louis Vincent  METZ