UTILISATION DE MAPLE EN AUTOMATIQUE

I Premiers essais:

> restart;

> H:=2/(1+10*p);Y:=10/p;X:=H*Y;

> with(plots):with(inttrans):

> x:=invlaplace(X,p,t);

> plot({x,20},t=0..50,y=0..25,color=black);

Cet exercice consiste à faire calculer et tracer à MAPLE la répone à un échelon d'un système du premier ordre. Essayons de lui en demander plus!

III. Travail à faire:

1) Répone à une impulsion: pas de difficultés particulières.
2) Réponse d'un système du second ordre à un échelon:
On notera H1, H2, ...les fonctions de transfert pour lambda= 0,2; 0.5; ....x1, x2, .... sont les réponses correspondantes.

> restart;

> H1:=1/(1+4*p+100*p^2):H2:=1/(1+10*p+100*p^2):H3:=1/(1+14.14*p+100*p^2):H4:=1/(1+16*p+100*p^2):H5:=1/(1+20*p+100*p^2):H6:=1/(1+40*p+100*p^2):

> Y:=10/p:X1:=H1*Y:X2:=H2*Y:X3:=H3*Y:X4:=H4*Y:X5:=H5*Y:X6:=H6*Y:with(plots):with(inttrans):

> x1:=invlaplace(X1,p,t):x2:=invlaplace(X2,p,t):x3:=invlaplace(X3,p,t):x4:=invlaplace(X4,p,t):x5:=invlaplace(X5,p,t):x6:=invlaplace(X6,p,t):

> plot({x1,x2,x3,x4,x5,x6,8,10,12},t=0..150,y=0..20,color=black);

On retrouvera aisément à quel lamda correspond chaque courbe.

3) Réponse d'un premier ordre avec retard:

Le but est de comparer la réponse d'un modèle de Broïda avec celle du même modèle en remplaçant l'exponentielle par un développement limité au premier et au second ordre.

> restart;

> H1:=exp(-10*p)/(1+20*p):H2:=1/((1+20*p)*(1+10*p)):H3:=1/((1+20*p)*(1+10*p+50*p^2)):

> Y:=10/p:X1:=H1*Y:X2:=H2*Y:X3:=H3*Y:

> with(plots):with(inttrans):

> x1:=invlaplace(X1,p,t):x2:=invlaplace(X2,p,t):x3:=invlaplace(X3,p,t):

> plot({x1,x2,x3,10},t=0..100,y=0..15,color=black);

Lequel est le plus proche de la réalité? N'oublions pas que le modèle de Broïda provient d'une identification...

4) Cet exercice est tiré du tome 2 des ouvrages de régulation de la collection ETAPES (NATHAN)

a) Correcteur proportionnel pur:

> restart; > H:=0.5/(1+10*p)^3:C:=A:T:=1+C*H;  

Le critère de Routh montre que la frontière de stabilité est A0=16

> H:=0.5/(1+10*p)^3:C1:=14:C2:=16:C3:=18:W:=10/p:

> F1:=C1*H/(1+C1*H):F2:=C2*H/(1+C2*H):F3:=C3*H/(1+C3*H):

> X1:=F1*W:X2:=F2*W:X3:=F3*W:

> with(plots):with(inttrans):

> x1:=invlaplace(X1,p,t):x2:=invlaplace(X2,p,t):x3:=invlaplace(X3,p,t):

> plot({x1,x2,x3,10},t=0..300,y=-10..30,color=black);

b) Correcteur PI mixte:

> restart:Ti:= 450*A/((80-5*A)*(1+0.5*A));         

> plot(Ti(A),A=0..20,0..100);

L'exercice peut être poursuivi (étude de robustesse), certains étudiants le font en s'aidant du manuel cité précédemment.
Le logiciel est utilisé dans le lycée. C'est un outil performant capable de tracer des représentations temporelles de fonctions données par leur transformée de Laplace.

Bernard ESCHENBRENNER
Professeur de Physique Appliquée
Lycée Louis Vincent  METZ