Terminale STL
Physique de Laboratoire et Proc�d�s Industriels

MECANIQUE 
 Oscillateurs m�caniques 1- Pendule �lastique horizontal et de torsion
  1. Exemples d'oscillateurs m�caniques
    2.

    Un oscillateur est un syst�me anim� d'un mouvement p�riodique.
     Une masse suspendue � un ressort, un pendule de torsion, 
    le balancier d'une horloge, sont des oscillateurs m�caniques

     
  1. Pendule �lastique horizontal
    1. �tude dynamique

On consid�re un ressort de masse n�gligeable et de raideur k. � l'une de ses extr�mit�s est fix� un solide (S) mobile de masse m, l'autre extr�mit� est accroch�e � un point d'un banc horizontal sur lequel peut se d�placer le solide (S) sans frottement.
Au repos (le ressort ayant sa longueur naturelle), le solide (S) est en �quilibre sous l'action de son poids et de la r�action du banc :  
Si l'on �carte le centre d'inertie G du solide de sa position d'�quilibre G0 et qu'on le lib�re, il se met � osciller autour de G0 ; pour d�crire le mouvement de G, on choisira un rep�re li� au banc. Le solide (S) est soumis � trois forces :

  • son poids
  • la r�action du banc
  • l'action du ressort  

D'apr�s le th�or�me du centre d'inertie :
Par projection dans le rep�re :

sur : R � P = 0
sur : m�aG = �k�x ou avec

L'�quation du mouvement de G est donc une �quation diff�rentielle du second ordre :

  ou      ou  

2- �quation horaire

Une solution de l'�quation diff�rentielle pr�c�dente est : .

En effet en d�rivant par rapport au temps t :

puis en d�rivant une seconde fois :

En reportant x et dans l'�quation diff�rentielle, on obtient : ou soit

On appelle :

w , T, f et j sont des grandeurs ind�pendantes de l'amplitude xm du mouvement.

Unit�s

x et xm en (m), en (m/s), en (m/s�) , k en (N/m) , m en (kg) , w en (rad/s) , T en (s) , f en (Hz) ,j en (rad).

  1. Pendule �lastique de torsion
    1. �tude dynamique

On consid�re un pendule de torsion constitu� d'un fil, de constante de torsion C, et d'une tige fix�e en son centre � l'une des extr�mit�s de fil, l'autre extr�mit� �tant fix�e � un support. On appelle J le moment d'inertie de la tige par rapport � un axe passant par son centre. Si l'on �carte la tige de sa position d'�quilibre et qu'on la lib�re, elle se met � osciller autour de sa position d'�quilibre.

On appelle respectivement q et l'abscisse angulaire et la vitesse angulaire de la tige � l'instant t. 
La tige est soumise au seul couple de torsion du fil :

D'apr�s le th�or�me du moment cin�tique, avec

L'�quation diff�rentielle du second ordre du mouvement de la tige est donc :

ou ou

2- �quation horaire

Une solution de l'�quation diff�rentielle pr�c�dente est :

On appelle : 

Ces grandeurs sont ind�pendantes de l'amplitude q m du mouvement.

Unit�s :  et q m en (rad), en (rad/s), , en (rad/s�) , C en (N� m/rad) , J en (kg� m�).

Remarque : On appelle oscillateur harmonique un oscillateur dont le mouvement est d�termin� par une �quation diff�rentielle du type :

2- Conservation de l'�nergie m�canique d'un oscillateur

1-  Cas d'un pendule �lastique horizontal

On consid�re le pendule �lastique horizontal vu pr�c�demment (M31 � 2). 
Le syst�me est form� du solide (S) de masse m et du ressort de raideur k. 
On �carte le solide de sa position d'�quilibre et on le lib�re. 
� un instant donn�, le centre d'inertie G du solide (S) a une abscisse x, une vitesse .

L'�quation horaire du mouvement s'�crit : et la vitesse .

L'�nergie cin�tique du syst�me est .

En prenant pour �tat de r�f�rence la position d'�quilibre (x = 0), l'�nergie potentielle du syst�me est .

L'�nergie m�canique du syst�me est donn�e par

. Or d'o� :

avec vm : vitesse maximale du solide (lorsqu'il passe � sa position d'�quilibre x = 0).

2- Cas d'un pendule �lastique de torsion

On consid�re le pendule �lastique de torsion vu pr�c�demment (M31 � 3). Le syst�me est form� du fil de constante de torsion C et d'une tige fix�e en son centre � l'une des extr�mit�s du fil l'autre extr�mit� �tant fix�e � un support. On appelle J le moment d'inertie de la tige par rapport � un axe passant par son centre. On �carte la tige de sa position d'�quilibre et qu'on la lib�re. � un instant t donn�, la tige a une abscisse angulaire q et une vitesse angulaire .

L'�quation horaire du mouvement s'�crit :

et la vitesse angulaire .

L'�nergie cin�tique du syst�me est .

L'�nergie potentielle du syst�me est (en prenant pour �tat de r�f�rence la position d'�quilibre q = 0) .

L'�nergie m�canique du syst�me est donn�e par

. Or d'o� :

3- Analogie avec les circuits �lectriques

�quation diff�rentielle
Un circuit L-C peut �tre le si�ge d'oscillations �lectriques. 
Consid�rons le circuit form� d'un condensateur parfait de capacit� C et d'une bobine parfaite d'inductance L. 
� un instant t, on appelle i l'intensit� dans le circuit et u la tension aux bornes du condensateur selon le sch�ma ci-contre.

Par d�finition de l'intensit� :

La tension aux bornes du condensateur est :

La tension aux bornes de la bobine est :

Les tensions u �tant �gales, le circuit est d�crit par l'�quation diff�rentielle :

    soit en posant        

Variation de l'intensit� du courant ; p�riode

En fonction du temps t :

La charge q du condensateur varie selon l'�quation :   qm �tant la charge maximale.

L'intensit� dans le circuit varie selon l'�quation : , I �tant l'intensit� maximale telle que :

La p�riode des oscillations �lectrique est :

�nergie �lectrique du circuit

L'�nergie �lectrique dans le condensateur est : .

L'�nergie �lectrique dans la bobine est : .

L'�nergie �lectrique totale du circuit est :

4- Comparaison des diff�rents oscillateurs

pendule
�lastique
horizontal

pendule
�lastique
de torsion

circuit
�lectrique
L-C

x

q

q

i

m

J

L

k

C

1/C

F=- k� x

G =- C� q

u=(1/C)� q

Ec = � m� �

Ec = � J� ��

Em = � L� i�

Ep = � k� x�

Ep = � C� q �

Ee = � C� u�

Em = � k� xm�= � m� vm�

Em = � C� = � J�

3- Oscillateurs amortis

Non-conservation de l'�nergie d'un oscillateur r�el

Au cours de ses oscillations, un oscillateur r�el est soumis � des frottements in�vitables. Le travail des frottements (n�gatif) provoque une diminution de l'�nergie m�canique de l'oscillateur libre pendant son mouvement. On dit alors que l'oscillateur r�el libre est non conservatif. 
Si l'on veut qu'un oscillateur r�el conserve une �nergie m�canique constante, il faut lui fournir un apport r�gulier d'�nergie par un syst�me ext�rieur ; on obtient alors un oscillateur entretenu (ce n'est plus rigoureusement un oscillateur harmonique) ; le syst�me ext�rieur peut �tre, par exemple, les "poids" d'une pendule � balancier, la roue d'�chappement � ancre ou un ressort dans une montre m�canique�

Frottement fluide (ou visqueux)

On dit qu'un frottement est fluide lorsque la force de frottement est proportionnelle � la vitesse : , le signe moins signifie que le vecteur force est de sens oppos� au vecteur vitesse. Ce type de frottement agit lorsqu'un corps se d�place dans un fluide (gaz ou liquide).

L'�tude dynamique d'un pendule �lastique horizontal soumis � ce frottement aboutit � l'�quation :   
L'�tude de cette �quation diff�rentielle d�passe le cadre du programme de S.T.L. 
Le mouvement de l'oscillateur amorti d�pend de l'importance du coefficient de frottement l

  1. Amortissement faible
    2.

    Si le frottement est faible, le mouvement est pseudo p�riodique.

    Le syst�me, ayant �t� �cart� de sa position d'�quilibre, oscille, mais l'amplitude des oscillations diminuent progressivement et leur valeur tend vers 0. 

    L'oscillateur se rapproche progressivement de sa position d'�quilibre. 
    Th�oriquement l'�quilibre n'est jamais atteint.
  2. Amortissement fort
    3.

    Si le frottement est fort, le mouvement est ap�riodique. 

    Le syst�me, ayant �t� �cart� de sa position d'�quilibre, revient lentement vers cette position d'�quilibre, mais sans osciller. 

    Ce mouvement est d'autant plus lent que le frottement est important.
  3. Amortissement critique

En partant d'un frottement fort, si l'on diminue ce frottement, le mouvement ap�riodique se fait avec un retour vers la position d'�quilibre de plus en plus rapide. Pour une valeur particuli�re de ce frottement, le r�gime est dit critique : parmi tous les mouvements ap�riodiques de cet oscillateur, c'est celui pour lequel le retour vers la position d'�quilibre est le plus rapide. Si, � partir de cette valeur particuli�re, on diminuait encore le frottement, le mouvement de l'oscillateur deviendrait pseudo-p�riodique

Ce r�gime critique pr�sente un int�r�t important pour les syst�mes m�caniques soumis � des vibrations. On d�sire tr�s souvent que ces syst�mes reviennent rapidement � leur position d'�quilibre, mais sans osciller. La suspension de ces syst�mes est donc coupl�e � des amortisseurs r�gl�s sur le r�gime critique (cas des voitures automobile�)

Frottement solide (ou sec)

On dit qu'un frottement est solide lorsque la valeur de la force de frottement est constante (donc ind�pendante de la vitesse) : . Le sens du vecteur force est cependant oppos� au vecteur vitesse : l'expression de ce frottement peut donc se mettre sous la forme : . 
Ce type de frottement se produit au contact de deux solides qui glissent l'un sur l'autre. 
Le mouvement est une suite d'oscillations sinuso�dales de pulsation w 0  
centr�es alternativement sur les abscisses et .
On obtient l'arr�t d�finitif du mouvement lorsque s'annule dans la plage [-p,+p].

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