Mouvement de chute verticale dans l�air.

Chute verticale d�une balle de polystyr�ne
(rayon de la balle : 3,5 cm, indication de la balance m� = 2,29 g )

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1. Pouss�e d�Archim�de :

a)      D�finir la pouss�e d�Archim�de.
b)      Calculer cette pouss�e P_A dans l�air pour une sph�re de rayon r = 3,5 cm.
c)      On peut �crire P_A = m_A. g . Que repr�sente m_A ? Calculer m_A.
Donn�es : g = 9,8 N. kg^-1 ; masse volumique de l�air� �_air = 1,3 g. L^-1 ; volume d�une sph�re V_sph�re =

2. Pes�e d�un objet l�ger.

On d�pose une sph�re l�g�re de masse m sur le plateau d�une balance.

a)      Faire l�inventaire des forces exerc�es sur la sph�re puis les repr�senter. On appelle P_A la pouss�e d�Archim�de et F_p l�action du plateau sur la sph�re.
b)      D�duire la relation entre P (poids de la sph�re), Fp� et PA.
c)      Sur la balance, on lit une masse . Sachant que P_A = m_A. g, exprimer m en fonction de m� et m_A.� m� = 2,29 g et m_A = 0,23 g. Calculer m.
d)      Comparer P (poids de la sph�re) et P_A. Peut-on n�gliger la pouss�e d�Archim�de devant le poids ?

3. Etude d�un mouvement de chute verticale dans l�air.

On a r�alis� l�enregistrement vid�o ( 10 images par seconde) du mouvement de chute d�une sph�re de polystyr�ne dans la chapelle du lyc�e. Ce lieu est propice � cette �tude car il est d�une hauteur de plafond importante et il n�y a pas de courant d�air notable.
On reprend le film dans un logiciel qui permet de num�riser les positions successives de la balle puis on traite les donn�es dans un tableur. On peut faire tracer le graphe de la vitesse de la balle en fonction du temps v_exp(t). Voir courbe ci-dessous.

On fait l�hypoth�se d�une force de frottement fluide de la forme� F_f = k .v� ou

a)      Faire un inventaire des forces exerc�es sur la sph�re et les repr�senter.
b)      Etablir l��quation diff�rentielle du mouvement � laquelle satisfait la vitesse v. On choisira un axe vertical de projection orient� vers le bas.
c)      Que vaut �quand la balle atteint sa vitesse limite v_l?
d)      D�duire l�expression litt�rale de la vitesse limite en fonction de m, m_A, g et k.
e)      D�terminer cette vitesse limite � partir du graphe.
f)        Calculer k � l�aide de l�expression du d).
g)      Montrer que
h)      On d�sire tracer v(t) par la m�thode d�Euler.
Rappel : ��avec ����  on prend

 
A l�aide d�un tableur, faire calculer v(t) pour t variant de 0 � 2,1 s et comparer avec les valeur exp�rimentale. Conclure sur la validit� du mod�le.

Correction :

1.
a) d�finition de la pouss�e d�Archim�de

b)
c) m_A est la masse d�air d�plac�e.�

2.
a) pouss�e d�Archim�de P_A, poids P, et force exerc�e par le ressort F_P.
b)
c) �donc d) ��P_A n�est pas n�gligeable.

3.
a) ������� P_A, P, F_f
b) ������� Le syst�me �tudi� est la balle. Dans le r�f�rentiel terrestre suppos� Galil�en, on peut appliquer la 2^nde loi de Newton � la balle. �On projette cette relation sur un� axe vertical orient� vers le bas, on obtient : �(1) ou
c) ������� = 0 quand la vitesse limite est atteinte.
d)   
e) v_l = 4,65 m. s^-1

f)
g) d�apr�s la relation (1)
h)

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