Mouvement de chute verticale dans l’air.

Chute verticale d’une balle de polystyrène
(rayon de la balle : 3,5 cm, indication de la balance m’ = 2,29 g )

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1. Poussée d’Archimède :

a)      Définir la poussée d’Archimède.
b)      Calculer cette poussée P_A dans l’air pour une sphère de rayon r = 3,5 cm.
c)      On peut écrire P_A = m_A. g . Que représente m_A ? Calculer m_A.
Données : g = 9,8 N. kg^-1 ; masse volumique de l’air  µ_air = 1,3 g. L^-1 ; volume d’une sphère V_sphère =

2. Pesée d’un objet léger.

On dépose une sphère légère de masse m sur le plateau d’une balance.

a)      Faire l’inventaire des forces exercées sur la sphère puis les représenter. On appelle P_A la poussée d’Archimède et F_p l’action du plateau sur la sphère.
b)      Déduire la relation entre P (poids de la sphère), Fp  et PA.
c)      Sur la balance, on lit une masse . Sachant que P_A = m_A. g, exprimer m en fonction de m’ et m_A.  m’ = 2,29 g et m_A = 0,23 g. Calculer m.
d)      Comparer P (poids de la sphère) et P_A. Peut-on négliger la poussée d’Archimède devant le poids ?

3. Etude d’un mouvement de chute verticale dans l’air.

On a réalisé l’enregistrement vidéo ( 10 images par seconde) du mouvement de chute d’une sphère de polystyrène dans la chapelle du lycée. Ce lieu est propice à cette étude car il est d’une hauteur de plafond importante et il n’y a pas de courant d’air notable.
On reprend le film dans un logiciel qui permet de numériser les positions successives de la balle puis on traite les données dans un tableur. On peut faire tracer le graphe de la vitesse de la balle en fonction du temps v_exp(t). Voir courbe ci-dessous.

On fait l’hypothèse d’une force de frottement fluide de la forme  F_f = k .v  ou

a)      Faire un inventaire des forces exercées sur la sphère et les représenter.
b)      Etablir l’équation différentielle du mouvement à laquelle satisfait la vitesse v. On choisira un axe vertical de projection orienté vers le bas.
c)      Que vaut  quand la balle atteint sa vitesse limite v_l?
d)      Déduire l’expression littérale de la vitesse limite en fonction de m, m_A, g et k.
e)      Déterminer cette vitesse limite à partir du graphe.
f)        Calculer k à l’aide de l’expression du d).
g)      Montrer que
h)      On désire tracer v(t) par la méthode d’Euler.
Rappel :   avec       on prend

 
A l’aide d’un tableur, faire calculer v(t) pour t variant de 0 à 2,1 s et comparer avec les valeur expérimentale. Conclure sur la validité du modèle.

Correction :

1.
a) définition de la poussée d’Archimède

b)
c) m_A est la masse d’air déplacée. 

2.
a) poussée d’Archimède P_A, poids P, et force exercée par le ressort F_P.
b)
c)  donc d)   P_A n’est pas négligeable.

3.
a)         P_A, P, F_f
b)         Le système étudié est la balle. Dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, on peut appliquer la 2^nde loi de Newton à la balle.  On projette cette relation sur un  axe vertical orienté vers le bas, on obtient :  (1) ou
c)         = 0 quand la vitesse limite est atteinte.
d)   
e) v_l = 4,65 m. s^-1

f)
g) d’après la relation (1)
h)

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