Résolution d'une équation différentielle , méthode d'Euler

Résolution numérique d'une équation différentielle
Méthode d’EULER

Cas d’une équation différentielle du premier ordre dont la forme mathématique est : A partir de la connaissance de la valeur de y = y₀ pour une valeur de x = x₀,
on peut calculer la valeur de en ce point, soit .
La valeur estimée de y pour x = x₀ + dX sera prise égale à .
Appelons h le pas d’intégration :

C’est une méthode itérative.
La valeur y_i+1 est déterminée en ajoutant Dy_i à la valeur y_i. y_i+1 = y_i+ Dy_i = y_i+ h f(x_i,y_i)
On remarquera que les valeurs estimées obtenus seront d’autant plus proches des valeurs exactes que le pas h est plus petit.

La courbe en trait plein correspond à la solution analytique.

Exemple mathématique

Considérons l'équation différentielle : avec y_(x=0)=1
La solution analytique est :

i	x_i
0	0	1
1	0,1	0,9900
2	0,2	0,9608
3	0,3	0,9139
4	0,4	0,8521
5	0,5	0,7788

Méthode d'EULER : à compléter ligne par ligne

i	x_i	y_i	Dy = -2 ´ x_i ´ y_i ´Dx	Y_i+1= y_i +Dy
0	0	1	-2´0´1´0,2 = 0	1
1	0,2	1	-2´0,2´1´0,2 = - 0,08	0,92
2	0,4	0,92	-2´0,4´0,92´0,2 = - 0,15	0,77
3	0,6	0,77
4	0,8
5	1,0

L’exemple ci-dessous montre que la méthode d’EULER pourrait être mise en œuvre « à la main ».

La courbe en trait gras correspond à la solution exacte, les points correspondent aux valeurs obtenues par la méthode d’EULER.
Le principe de la méthode d’EULER est rappelé par les segments.

Décharge d’un condensateur dans une résistance.

Solution analytique : Méthode d’EULER :

	A	B	C	D
	t	u(Exact)	u(Euler)	Du
7	0	=U0*EXP(-t/RC)	5	=dt(-1/RC)C7
8	=A7+dt	=U0*EXP(-t/RC)	=C7+D7	=dt(-1/RC)C8
9	=A8+dt	=U0*EXP(-t/RC)	=C8+D8	=dt(-1/RC)C9

Résultats obtenus :

dt	0,05	s
RC	0,5	s
U0	5	V

Oscillations amorties

soit

On pose : L'équation ci-dessus devient : On a donc transformé l’équation différentielle du 2^ème ordre en 2 équations différentielles du premier ordre :
· à partir de laquelle on obtient On calcule de proche en proche les valeurs de la vitesse à partir des valeurs de v(t=0) et x(t=0).
· à partir de laquelle on obtient :.
On calcule de proche en proche les valeurs de x(t) à partir de la valeur de x(t=0) et des valeurs de v(t) déterminées précédemment.

Remarque : lorsque l’on entreprend le calcul de x(t+dt),on connaît déjà la valeur de v(t+dt).
Pour calculer v(t+dt), on peut utiliser ou mieux

Solutions analytiques :

SI (a²- w₀²) < 0 :

SI (a²- w₀²) = 0 :

SI (a²- w₀²) > 0 :

dt	w₀²	a	x₀	v₀
0,02	50	1	0,05	0
s	s^-2	s^-1	m	m.s^-1

	A	B	C	D	E
	t	V	DV	X(Euler)	DX
	0	=v0	=(- w₀²D30-2aB30)dt	=x0	=V*dt
31	=A30+dt	=B30+C30	=(- w₀²D31-2aB31)dt	=D30+E31	=V*dt
32	=A31+dt	=B31+C31	=(- w₀²D32-2aB32)dt	=D31+E32	=V*dt
33	=A32+dt	=B32+C32	=(- w₀²D33-2aB33)dt	=D32+E33	=V*dt
34	=A33+dt	=B33+C33	=(- w₀²D34-2aB34)dt	=D33+E34	=V*dt