R�solution d'une �quation diff�rentielle , m�thode d'Euler

R�solution num�rique d'une �quation diff�rentielle
M�thode d�EULER

Cas d�une �quation diff�rentielle du premier ordre dont la forme math�matique est : A partir de la connaissance de la valeur de y = y₀ pour une valeur de x = x₀,
on peut calculer la valeur de en ce point, soit .
La valeur estim�e de y pour x = x₀ + dX sera prise �gale � .
Appelons h le pas d�int�gration :

C�est une m�thode it�rative.
La valeur y_i+1 est d�termin�e en ajoutant Dy_i � la valeur y_i. ��y_i+1 = y_i+ Dy_i = y_i+ h f(x_i,y_i)
On remarquera que les valeurs estim�es obtenus seront d�autant plus proches des valeurs exactes que le pas h est plus petit.

La courbe en trait plein correspond � la solution analytique.

Exemple math�matique

Consid�rons l'�quation diff�rentielle : avec y_(x=0)=1
La solution analytique est :

i	x_i
0	0	1
1	0,1	0,9900
2	0,2	0,9608
3	0,3	0,9139
4	0,4	0,8521
5	0,5	0,7788

M�thode d'EULER : � compl�ter ligne par ligne

i	x_i	y_i	Dy = -2 � x_i � y_i �Dx	Y_i+1= y_i +Dy
0	0	1	-2�0�1�0,2 = 0	1
1	0,2	1	-2�0,2�1�0,2 = - 0,08	0,92
2	0,4	0,92	-2�0,4�0,92�0,2 = - 0,15	0,77
3	0,6	0,77
4	0,8
5	1,0

L�exemple ci-dessous montre que la m�thode d�EULER pourrait �tre mise en �uvre � � la main �.

La courbe en trait gras correspond � la solution exacte, les points correspondent aux valeurs obtenues par la m�thode d�EULER.
Le principe de la m�thode d�EULER est rappel� par les segments.

D�charge d�un condensateur dans une r�sistance.

Solution analytique : M�thode d�EULER :

	A	B	C	D
	t	u(Exact)	u(Euler)	Du
7	0	=U0*EXP(-t/RC)	5	=dt(-1/RC)C7
8	=A7+dt	=U0*EXP(-t/RC)	=C7+D7	=dt(-1/RC)C8
9	=A8+dt	=U0*EXP(-t/RC)	=C8+D8	=dt(-1/RC)C9

R�sultats obtenus :

dt	0,05	s
RC	0,5	s
U0	5	V

Oscillations amorties

� soit ��

On pose :� L'�quation ci-dessus devient : On a donc transform� l��quation diff�rentielle du 2^�me ordre en 2 �quations diff�rentielles du premier ordre :
� �� partir de laquelle on obtient� On calcule de proche en proche les valeurs de la vitesse � partir des valeurs de v(t=0) et x(t=0).
� � partir de laquelle on obtient :.
On calcule de proche en proche les valeurs de x(t) � partir de la valeur de x(t=0) et des valeurs de v(t) d�termin�es pr�c�demment.

Remarque : lorsque l�on entreprend le calcul de x(t+dt),on conna�t d�j� la valeur de v(t+dt).
Pour calculer v(t+dt), on peut utiliser _�ou mieux

Solutions analytiques :

SI (a²- w₀²) < 0 :

SI (a²- w₀²) = 0 :

SI (a²- w₀²) > 0 :

dt	w₀²	a	x₀	v₀
0,02	50	1	0,05	0
s	s^-2	s^-1	m	m.s^-1

	A	B	C	D	E
	t	V	DV	X(Euler)	DX
	0	=v0	=(- w₀²D30-2aB30)dt	=x0	=V*dt
31	=A30+dt	=B30+C30	=(- w₀²D31-2aB31)dt	=D30+E31	=V*dt
32	=A31+dt	=B31+C31	=(- w₀²D32-2aB32)dt	=D31+E32	=V*dt
33	=A32+dt	=B32+C32	=(- w₀²D33-2aB33)dt	=D32+E33	=V*dt
34	=A33+dt	=B33+C33	=(- w₀²D34-2aB34)dt	=D33+E34	=V*dt

Etude les diff�rents r�gimes :

R�gime pseudo-p�riodique

a² - w₀^2�< 0

y(0) = 0,05 m
v(0) = 0 m.s^-1a = 1s^-1w₀²=50 s^-2

R�gime critique

a² - w₀^2�= 0
y(0) = 0,05 m
v(0) = 0 m.s^-1a = 1s^-1w₀²=1 s^-2

Le retour � l'�quilibre s'effectue plus rapidement que dans le r�gime ap�riodique

R�gime ap�riodique

a² - w₀^2�> 0
y(0) = 0,05 m
v(0) = 0 m.s^-1a = 1 s^-1w₀²=0,4 s^-2

Chute libre

= v(t)-g�dt
La d�termination des valeurs de y(t) peut se faire par une des trois m�thodes suivantes :
not� y₁ou
not� y₂ ou�
not� y₃

Solution exacte :� ��y=0,5�g�t²+v₀�t+y₀

y(t)

y0	v0	g	dt
0	20,0	9,80	0,10
m	m.s^-1	m.s^-2	s

Cet exemple met en �vidence l�int�r�t du choix de la m�thode (3) :

Chute amortie par des forces de frottement pouvant �tre mod�lis�e par -kV²

�� ou� ,

V_L d�signant la vitesse limite atteinte par l�objet.
Si on tient compte de la pouss�e d�Archim�de, g� < g.

R�solution analytique

� Expression de v(t)

Effectuons les changements de variable : v = u v_L�et
�avec �� ou�� Une primitive de est de la forme : Conditions initiales :� t=0 � x=0 et�� v=v₀ � u₀=v₀/v_L