Chute verticale d�un solide dans un liquide

1 Etude exp�rimentale :

- Enregistrement
Un objet (flotteur de p�che � la ligne lest�) est l�ch� sans vitesse initiale dans de l�eau. Un enregistrement vid�o est effectu� avec une webcam � raison de 10 images par seconde.

- Saisie des positions d�un point en fonction du temps : Lancer le logiciel REGAVI. Charger le fichier intitul� � poisson2.avi � V�rifier le r�glage du nombre d�images par seconde � la vitesse d�acquisition, soit 10 images/s. Indiquer l��chelle : la distance entre deux traits sur le support est de 50cm. Placer l�origine du rep�re sur la premi�re position du mobile.D�cocher l�option trace. Revenir au d�but de l�enregistrement. Lancer l�acquisition en cliquant sur la cam�ra et relever les positions successives du mobile. (24 positions) Transf�rer le r�sultat en Regressi (ic�ne � stop � puis ic�ne Regressi). Il peut �tre pr�f�rable d�ouvrir Regressi avant d�utiliser Regavi.

- Traitement des mesures.
Afficher la trajectoire : quel syst�me de coordonn�es faut-il choisir ?Le rep�re doit-il �tre orthonorm� ? Quelle observation peut-on faire en ce qui concerne les valeurs de x ? Justifier. Est-il n�cessaire de travailler dans un rep�re � deux dimensions pour l��tude du mouvement ?
Afficher y=f(t). L�option � axes orthonorm�s � a-t-elle un sens pour l�affichage de cette courbe ? Quel est le sens de l�axe y�y du rep�re ?
On souhaite travailler sur un axe Y�Y orient� vers le bas. Exprimer l�abscisse Y du mobile dans ce rep�re en fonction de y et ajouter la colonne correspondante dans le tableau.
Faire calculer la vitesse v � partir de Y (d�riv�e) et afficher v=f(t). Pr�ciser les deux r�gimes du mouvement du solide.
D�terminer la vitesse limite acquise par le solide en mod�lisant la vitesse lors de la deuxi�me phase du mouvement par une constante (mod�le pr�d�fini, manuelle, v = b). Quelle est la nature du mouvement du mobile dans cette phase ?
vl =__________________ nature du mouvement : _________________________________
Pourquoi la vitesse initiale n�est-elle pas nulle ? Relever sa valeur : v0 = _____________________

2 Equation diff�rentielle du mouvement.

Syst�me �tudi�, R�f�rentiel choisi, Forces exerc�es sur le bouchon, sch�ma : 
Application de la deuxi�me loi de Newton : Etablissement de l��quation diff�rentielle du mouvement.

Pouss�e d�Archim�de : r�sumer la d�termination de la masse d�eau d�plac�e (on place une �prouvette contenant de l�eau sur la balance et on tare, on introduit dans l�eau, le bouchon suspendu par un fil ; la masse indiqu�e par la balance correspond � la masse d�eau d�plac�e)   meau = ____________ ;  calculer, � partir de ce r�sultat, la valeur de la pouss�e d�Archim�de s�exer�ant sur le bouchon FA = _________________ Relever la masse du bouchon : msolide = ______________ et calculer son poids P =____________

Vitesse limite.
Au d�but du mouvement, la vitesse augmente, qu�en est-il de la force de frottement ? 
Que devient l��quation ci-dessus lorsque la vitesse atteint la valeur limite ?
En d�duire la valeur de la constante k de la force de frottement et du rapport k/m.
Ecrire l�expression semi num�rique d�finitive de l��quation diff�rentielle :

3 � R�solution des �quations diff�rentielles par une m�thode num�rique it�rative : la m�thode d�Euler
3.1 Principe
La vitesse � la date i, vi peut �tre obtenue en ajoutant � la vitesse � la date i-1, vi-1 , la variation de vitesse Dvi-1 : vi = vi-1 + Dvi-1
Or l�acc�l�ration � la date i-1 , ai-1 , a pour valeur approch�e le rapport si Dt est suffisamment petit ; on peut donc �crire : Dvi-1 = ai-1. Dt ; l�expression de vi devient : vi = vi-1 + ai-1. Dt
L��quation diff�rentielle o� intervient dv/dt c�est � dire a , permet de calculer ai-1 si vi-1 est connue. La r�p�tition de ce raisonnement permet ensuite de calculer vi+1 puisque vi est alors connue, et ainsi de suite , d�o� le nom de m�thode num�rique it�rative (r�it�rer = recommencer)

3.2 Chute verticale dans un liquide.
traitement manuel : a partir de la vitesse v0 relev�e pr�c�demment, calculer v1 en appliquant la m�thode d�Euler, l�intervalle de temps consid�r� �tant l�intervalle entre deux images, soit 0,1s. recommencer le calcul pour v2 et comparer les r�sultats � ceux obtenus par le calcul en Regressi.
L�aspect fastidieux de ces calculs impose l�utilisation d�un tableur.

traitement par un tableur
transf�rer la tableau de Regressi vers Excel : enregistrer d�abord en fichier txt le tableau (et non avec l�extension RW3).
Lancer Excel et ouvrir le fichier pr�c�dent en demandant les fichiers txt.
Masquer les colonnes inutiles (format, colonne masquer). Limiter les chiffres significatifs (format, cellule, nombre) ; construire une nouvelle colonne appel�e v euler ; la premi�re valeur est la vitesse initiale ; 
S�lectionner la cellule suivante et y inscrire, apr�s le signe = la relation num�rique de calcul de la vitesse ; la vitesse qui intervient dans cette expression doit �tre pr�cis�e en cliquant dessus ou en donnant sa situation ( C6 par exemple). � tirer � la formule vers le bas pour remplir les cellules suivantes.
Afficher le graphique donnant la vitesse exp�rimentale et la vitesse obtenue par la m�thode d� Euler en fonction du temps

3.3 analyse de la force de frottement
L�hypoth�se d�une force de frottement du type �kv2 ne colle pas tout � fait avec les relev�s exp�rimentaux ; on peut donc rechercher un mod�le diff�rent et voir s�il s�approche mieux de l�exp�rience. On propose une force du type � kv.
Etablir dans ce cas l��quation diff�rentielle ; d�terminer de la m�me fa�on les valeurs num�riques des constantes et utiliser le tableur pour comparer les diff�rentes courbes v= f(t) ; conclure.

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